Läd die Lichtmaschine die Batterie ,auch im Leerlauf, auf?

Ja, ein moderner Drehstromgenerator lädt auch im Leerlauf den Akku auf. Das war bei den früher üblichen Gleichstrom-Limas nicht immer so.
Ist das bei deinem Fahrzeug nicht so, mal die Spannung an Lima-Plus messen, sie muss bei etwa 13,5V liegen. Ist das so, und die Batterie wird trotzdem nur schwach geladen, ist wohl eine neue fällig.