Wie lange ?

Der Vermieter hat Recht. Der Mietvertrag endet ausdrücklich nicht mit dem Tod des Mieters, sondern geht auf den Erben über. Es kann mit der gesetzlichen Kündigungsfrist gekündigt werden (§ 580 BGB)

Im Einzelfall kommt es auf den Mietvertrag und die Umstände an.
Gibt es einen Erben, der genug Geld und Zeit hat, wird dieser die Wohnung des Verstorbenen ordentlich auflösen, leer räumen und die gesetzliche ordentliche Kündigungsfrist einhalten.
Es gibt aber auch Erben, die das einfach nicht können. In dem Fall greift das Recht auf ausserordentliche Kündigung, und das beinhaltet auch eine fristlose Kündigung, wenn die Fortzahlung der Miete durch den Erben unzumutbar ist.
Im Zweifel muss der Vermieter den Gerichtsweg einschlagen und die kommende Miete einklagen, was aber nicht nur pietätlos sondern auch riskant für den Vermieter ist.

Starmax, man sollte beachten, dass der Erbe nicht der Vertragspartner des Vermieters ist. In manchen Fällen wurde ganz einfach damit argumentiert, das die "neue" zusätzliche Wohnung gar nicht passt. Noch leer machen, okay.
Aber weiter Miete zahlen, also für zwei Wohnungen parallel? Wie denn, wer kann das heute noch?
Ich habe genau den Fall vor 1,5 Jahren erlebt. Rate mal, wer ganz schnell klein beigegeben hat um die Gerichtskosten nicht auch noch an der Backe zu haben...
Korrekt: der Vermieter. Bedenke einfach, dass das Mietgesetz eher eindeutig Verbraucherfreundlich ausgelegt wird, also den Mieter schützen soll. Nicht den Vermieter.

Starmax, DIR traue ich das zu. Trotzdem bist DU dann in der Pflicht, zu beweisen, dass es mir zumutbar ist, die Miete für den Verstorbenen weiter zu zahlen. Viel Spass dabei.
Ich widerspreche einfach, dass ich das nicht kann und will, und dann kannst Du ja Jahrelang Rechtsanwälte und Gerichtskosten bezahlen.
Noch einmal: Auch wenn ich Erbe bin, ICH habe keinen Vertrag mit Dir unterschrieben.

bevor der Gerichtsvollzieher auf Deinen Wunsch kommt, musst Du aber einen Gerichtstitel in der Tasche haben. So einfach ist das Ganze nicht. Abgesehen davon: natürlich kann der Vermieter auf dem Vertrag bestehen. Es ist aber auch möglich, dass sich alle Beteiligten mal in Ruhe an einen Tisch setzen und sich einigen. Das klappt allerdings nicht, wenn gleich der Knüppel ausgepackt wird.

Link

Wie kommst Du auf §573? Ich hatte 543 verlinkt.
Aber bitte, Du kannst es ja gerne mal vor Gericht probieren.

Ihr Vermieter hat leider recht.

Okay, ich bin raus, obwohl ich da einschlägige persönliche Erfahrungen habe.
Deutschland braucht kein BGB mehr und keine Richter, die das auslegen.
Ing hat immer Recht, ungeachtet dessen, wie der Einzelfall aussieht.

starmax, sag doch, dass deine Antwort "gerichtsvollzieher" die Fortsetzung Deiner Antwort "urkundenklage" sein sollte. Was den Rest angeht: Worüber streitet ihr Euch eigentlich? Der Vermieter ist gesetlich im Recht, die Erben müssen zahlen. Ich bleibe aber dabei, was ich schon mal gesagt habe: vernünftige Menschen können miteinander REDEN und werden sicher eine für alle beteiligten befriedigende Lösung finden.
Aber wer das nicht will, dem ist nicht zu helfen.
und damit ist für mich ENDE.