Wer trägt die Kosten,wenn auf dem Balkon wenn ein Wespennest ist?

In jedem Fall. Das Wespennest stellt einen Mangel an der Mietsache dar, welcher vom Vermieter unverzüglich zu beheben ist. Ansonsten wäre der Mieter zu Mietminderung oder, da Wespen eine Gefahr, insbesondere für Kinder, darstellen, zu zeitweilegem Umzug in eine Pension oder Hotel zu Lasten des Vermieters berechtigt.
MfG

Die Kosten trägt normalerweise der Auftraggeber. Nur aus Interesse: Was kostet eigentlich ein Wespennest?

Wenn der Vermieter das Nest nicht in einer angemessenen Frist entfernen läßt, kann der Mieter das Nest beseitigen lassen und es steht ihm ein Kostenersatz zu. Das wurde so gerichtlich entschieden.
Ich mache Wespennester, die an problematischen Stellen sind, selbst weg. Wespen fliegen nachts nicht. Ich vermumme mich, hacke das Nest ab und entferne mich zügig. In der Regel ziehen die Wespen dann weg. Wenn sie weg sind, mache ich die Reste des Nestes komplett weg und sprühe irgend was Duftendes auf die Stelle, damit sie es da nicht neu bauen. Eigentlich sind aber Wespen geschützt. Aber an manchen Stellen sind die Nester schon sehr ungünstig.